Cartones de Bingo (2)

El domingo pasado participe de la edición 2017 del Bingo Interclubes (http://bingointerclubes.com.ar/), con la misma ilusión de siempre, ganar un auto. Lo llamativo de esta edición fué que casi todos los premios fueron compartidos. Escuché por ahí que decían que la gente se dormía en cantar y por eso los premios se compartían. La verdad es que puede que no sea eso, sino que hay tantos cartones vendidos que comienza a ser muy probable que para la misma secuencia de numeros exista mas de un carton vendido.

En una esta entrada anterior, calculé la cantidad de cartones máxima que se pueden vender: 6.080.082.602.343.750 (seis mil billones).


El domingo pasado, el premio mayor se ganó luego de que se cantaron 46 números, siendo la ultima bola el numero 61.

En esta entrada quisiera calcular la cantidad de bingos que podrían haber ganado el premio mayor en esta situación. Esto se traduce a contar la cantidad de cartones que se pueden formar con los números que salieron, que incluyan al 61. La idea es utilizar el mismo razonamiento que se uso para calcular la cantidad de cartones.

Primero lo primero: ¿Qué números salieron en el ultimo sorteo?

La foto muestra los números que salieron al momento de que el ganador cante Bingo!, estos son:

- 3, 4, 7
- 10, 12, 13, 15, 16, 18
- 21, 24, 26, 27, 29
- 30, 31, 32, 33, 37, 38
- 40, 42, 43, 47
- 53, 54, 56, 57, 58, 59
- 60, 61, 62, 67
- 72, 74, 75, 76, 78,
- 80, 83, 86, 87, 88, 89, 90

Segundo lo segundo:  Contar todos los cartones que se pueden generar con estos números, que incluyan al 61.

En la entrada anterior se explica que tiene que cumplir un carton de bingo.



1) Para la primer columna solamente podemos usar los numeros 3, 4, 7.

Cantidad de columnas distintas con solamente un casillero lleno: 3/1! = 3
Cantidad de columnas distintas con solamente dos casillero lleno: 3*2/2!= 3
Cantidad de columnas distintas con solamente tres casillero lleno: 3*2*1/3!=1

2) Para la segunda columna solamente los números 10, 12, 13, 15, 16, 18
Cantidad de columnas distintas con solamente un casillero lleno: 6/1! = 6
Cantidad de columnas distintas con solamente dos casillero lleno: 6*5/2!= 15
Cantidad de columnas distintas con solamente tres casillero lleno: 6*5*4/3!=20

3) Para la tercer columna (números: 21, 24, 26, 27, 29)
Cantidad de columnas distintas con solamente un casillero lleno: 5/1! = 5
Cantidad de columnas distintas con solamente dos casillero lleno: 5*4/2!= 10
Cantidad de columnas distintas con solamente tres casillero lleno: 5*4*3/3!=10

4) Para la cuarta columna (números 30, 31, 32, 33, 37, 38)
Cantidad de columnas distintas con solamente un casillero lleno: 6/1! = 6
Cantidad de columnas distintas con solamente dos casillero lleno: 6*5/2!= 15
Cantidad de columnas distintas con solamente tres casillero lleno: 6*5*4/3!=20

5) Para la quinta columna (números 40, 42, 43, 47)
Cantidad de columnas distintas con solamente un casillero lleno: 4/1! = 4
Cantidad de columnas distintas con solamente dos casillero lleno: 4*3/2!= 6
Cantidad de columnas distintas con solamente tres casillero lleno: 4*3*2/3!=4

6) Para la sexta columna (números 53, 54, 56, 57, 58, 59)
Cantidad de columnas distintas con solamente un casillero lleno: 6/1! = 6
Cantidad de columnas distintas con solamente dos casillero lleno: 6*5/2!= 15
Cantidad de columnas distintas con solamente tres casillero lleno: 6*5*4/3!=20

7) Para la séptima columna (números 60, 61, 62, 67)
Aqui, si o si tiene que estar el 61.
Cantidad de columnas distintas con solamente un casillero lleno: 1
Cantidad de columnas distintas con solamente dos casillero lleno: 3
Cantidad de columnas distintas con solamente tres casillero lleno: 3*2/2!=3

8) Para la octava columna (números 72, 74, 75, 76, 78)
Cantidad de columnas distintas con solamente un casillero lleno: 5/1! = 5
Cantidad de columnas distintas con solamente dos casillero lleno: 5*4/2!= 10
Cantidad de columnas distintas con solamente tres casillero lleno: 5*4*3/3!=10

9) Para la novena columna (números 80, 83, 86, 87, 88, 89, 90)
Cantidad de columnas distintas con solamente un casillero lleno: 7/1! = 7
Cantidad de columnas distintas con solamente dos casillero lleno: 7*6/2!= 21
Cantidad de columnas distintas con solamente tres casillero lleno: 7*6*5/3!=35


Tercero, es lo tercero.
Hacer el programa que cuente cartones validos combinando las columnas de manera que la cantidad de numeros sea 15. (El código del programa está en prolog al final de la entrada).

30.268.870.800 (treinta mil millones de cartones)


Cuarto, es lo cuarto.
¿Está bien? ¿ustedes que piensan?
 La conclusión de todo esto es que podría haber habido 30 mil millones de ganadores, pero solo uno de estos cartones fue generado y vendido.


 % Programa en Prolog
sum([], 0).sum([H|T], Result) :- sum(T, Rest), Result is H + Rest.

:- C1 = [[1,3],[2,3],[3,1]],
C2 = [[1,6],[2,15],[3,20]],
C3 = [[1,5],[2,10],[3,10]],
C4 = [[1,6],[2,15],[3,20]],
C5 = [[1,4],[2,6],[3,4]],
C6 = [[1,6],[2,15],[3,20]],
C7 = [[1,4],[2,6],[3,4]],
C8 = [[1,5],[2,10],[3,10]],
C9 = [[1,7],[2,21],[3,35]],
findall(Z,(
member([X1|Y1],C1),
member([X2|Y2],C2),
member([X3|Y3],C3),
member([X4|Y4],C4),
member([X5|Y5],C5),
member([X6|Y6],C6),
member([X7|Y7],C7),
member([X8|Y8],C8),
member([X9|Y9],C9),
15 is X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9,Z is Y1*Y2*Y3*Y4*Y5*Y6*Y7*Y8*Y9),L),
sum(L,CARTONES),
write(CARTONES).